\subsection{幺正算符}

对任意两个波函数$\varphi(\boldsymbol{r}) ,\psi(\boldsymbol{r})$,定义它们的标积内积

\begin{equation}
    (\varphi, \psi)=\int \varphi^*(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} v
\end{equation}

此式的物理含义是:当微观粒子处在状态$\psi(r)$时,找到粒子处在状态$\varphi(r)$的概率幅.
依据此处标积概念,可以定义幺正算符.

\begin{definition}[][幺正算符一]
    \textbf{Unitary operator one}\quad 对于任意两个波函数$\varphi$和$\psi$,
    如算符$\hat{U}$满足下面两个条件:
    \begin{equation}
        \left\{\begin{array}{l}
            (\hat{U} \varphi, \hat{U} \psi)=(\varphi, \psi) \\
            \hat{U}^{-1} \hat{U}=\hat{U} \hat{U}^{-1}=I
        \end{array}\right.
    \end{equation}
    称算符$\hat{U}$为幺正算符.
\end{definition}

第一个方程是说$\hat{U}$能够保持$\varphi , \psi$内积不变,
第二个方程是说$\hat{U}$有逆算符$\hat{U}^{-1}$存在.
注意,对于无穷维空间,保持内积不变的算符称等距算符(isometric operator),不一定有逆算符存在.
仅有逆存在的等距算符才是幺正算符.这不同于有限维空间的情况.

任一算符$\hat{\Omega}$的Hermite算符$\hat{\Omega}^{+}$定义：
其Hermite算符$\hat{\Omega}^{+}$在任意波函数$\varphi ,\psi$中的矩阵元恒按下式右边由算符
$\hat{\Omega}$的矩阵元决定:

$\left(\psi, \hat{\Omega}^{+} \varphi\right)=(\hat{\Omega} \psi, \varphi)
$

依据Hermite算符概念, 可得幺正算符$\hat{U}$的另一个等价定义.
\begin{definition}[][幺正算符二]
    \textbf{Unitary operator two}\quad
    \begin{equation}
        \hat{U} \hat{U}^*=I, \quad \hat{U}+\hat{U}=I
    \end{equation}

    称算符$\hat{U}$是幺正的.也可以等价地写作
    \begin{equation}
        \hat{U}^{+}=\hat{U}^{-1}
    \end{equation}
\end{definition}
\begin{proof}
    从定义1出发,若$(\hat{U} \varphi, \hat{U} \psi)=(\varphi, \psi)$成立,
    则按$\hat{U}^{+}$定义,有

    \begin{equation}
        (\varphi, \psi)=(\hat{U} \varphi, \hat{U} \psi)=\left(\hat{U}^{+} \hat{U} \varphi, \psi\right)
    \end{equation}
    由于$\varphi , \psi$任意,所以
    \begin{equation}
        \hat{U}^* \hat{U}=I
    \end{equation}
    鉴于$\hat{U}$有逆算符$\hat{U}^{-1}$存在,由此必有$\hat{U} \hat{U}^{+}=I$.
    也可证作取$\varphi^{\prime}=\hat{U}^{-1} \varphi, \psi^{\prime}=\hat{U}^{-1} \psi$,
    有
    \begin{equation}
        (\varphi, \psi)=\left(\hat{U} \varphi^{\prime}, \hat{U} \psi^{\prime}\right)=\left(\varphi^{\prime}, \psi^{\prime}\right)=\left(\hat{U}^{-1} \varphi, \hat{U}^{-1} \psi\right)=\left(\left(\hat{U}^{-1}\right)^{+} \hat{U}^{-1} \varphi, \psi\right)
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \left(\hat{U}^{-1}\right)^{+} \hat{U}^{-1}=I \rightarrow \hat{U} \hat{U}^{+}=I
    \end{equation}
    箭头表示的运算是两边取逆并注意
    $\left(\hat{U}^{-1}\right)^{+}=\left(\hat{U}^{+}\right)^{-1}$.
    这就从定义1导出了定义2.
    类似，也能从第二种定义导出定义.从而两种定义是等价的.
\end{proof}


\subsection{幺正算符的性质}

幺正算符有以下几条性质:
\begin{enumerate}
    \item 幺正算符的逆算符是幺正算符.
    \item 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.
    \item 无穷小幺正算符$\hat{U}$的生成元$\hat{F}$为Hermite算符.
\end{enumerate}

\begin{definition}[][无穷小算符和生成元]
    \textbf{Infinite operators and generators}\quad 一个算符$\hat{U}$,
    如果它和单位算符$I$相差一无穷小,就称为无穷小算符.这时可以引入无穷小参数$\varepsilon$,
    将$\hat{U}$记为

    \begin{equation}
        \hat{U}=1-\mathrm{i} \varepsilon \hat{F}
    \end{equation}
    算符$\hat{F}$称为算符$\hat{U}$的生成元.
\end{definition}

就是说,以后经常按以下方式用Hermite算符$\hat{\Omega}$结合任意实数$\alpha$
构造出一个并非无穷小的幺正算符$\hat{U}$,

\begin{equation}
    \hat{U}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(\mathrm{i} \alpha)^n \hat{\Omega}^n \equiv \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha \hat{\Omega}}
\end{equation}

\subsection{幺正变换}

\begin{definition}[][幺正变换]
    \textbf{unitary transformation}\quad 幺正算符对量子体系的变换称为幺正变换.
    具体说,一个幺正算符对量子体系的幺正变换包括两个方面的内容——
    对态的幺正变换和对算符的幺正变换:
    \begin{equation*}
        \begin{cases}
            \text{对波函数} & \hat{U}\psi\equiv\psi^{(U)}                              \\
            \text{对算符}  & \hat{U}\hat{\Omega}\hat{U}^{-1}\equiv \hat{\Omega}^{(U)}
        \end{cases}
    \end{equation*}
    这两方面变换的配合使用,保证了任意概率幅在变换前后不变.
\end{definition}

\begin{example}
    举例对一个量子体系施以三维Fourier积分变换：波函数$\psi(r) \rightarrow \psi(p)$
    和算符$\hat{\Omega}(r) \rightarrow \hat{\Omega}(p)$,
    这种幺正变换正是由坐标表象向动量表象的表象变换.这时

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
             & \hat{U}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{d} r \mathrm{e}^{-\frac{1}{p} p r}  \\
             & \hat{U}^{-1}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{dp} \mathrm{e}^{\frac{1}{p^p}}
        \end{aligned}
    \end{equation}
\end{example}

注意,这时算符$\hat{U}$是一类积分变换,它和后面算符或坐标函数作变换,即乘积运算时,
$r$必须和后面(算符或坐标函数)的自变量取成相同并对其求积分, $p$作为参量保持不变.就是说,
$\hat{U}$中积分变数$r$类似于矩阵乘积中的列标-—与后面取成一致并求和;
参量$p$则类似于矩阵乘积中的行标-乘积求和中保持固定.而$\hat{U}^{-1}$的作用相反:
$p$为积分变数(类似于矩阵乘积中的列标), $r$为参量(类似于矩阵乘积中的行标).
当多个算符连乘运算时,多重中间积分的变数符号要注意彼此区分,以免混乱.如

\begin{equation}
    \hat{U} \psi(r)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{d} r \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar} p r} \psi(r)=\psi(p)
\end{equation}


\begin{equation}
    \hat{U}^{-1} \psi(p)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{d} p \mathrm{e}^{\frac{i}{\lambda} p r} \psi(p)=\psi(r)
\end{equation}

\begin{align*}
    \hat{U} \hat{U}^{-1} & =\frac{1}{(2\pi h)^{3/2}} \int \mathrm{d} \vecr \mathrm{e}^{-\frac{i}{A} \vecp \vecr}
    \cdot \frac{1}{(2\pi h)^{3/2}} \int \mathrm{d} \vecp^{\prime} \mathrm{e}^{\frac{1}{A} \vecp^{\prime} \vecr}                                                                       \\
                         & =\int \mathrm{d} \vecp^{\prime} \cdot \frac{1}{(2\pi \hbar)^3} \int \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar}\left(\vecp-\vecp^{\prime}\right) \vecr} \mathrm{~d} \vecr \\
                         & =\int \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime} \cdot \delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right)
\end{align*}


这里$U U^{-1}$结果说明,将任意动量函数$\psi\left(p^{\prime}\right)$变为同一函数
$\psi(\boldsymbol{p})$是恒等变换.还有


\begin{equation}
    \hat{U} \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} \hat{U}^{-1}=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} \\
\end{equation}

\begin{equation}
    \hat{U} \hat{r} \hat{U}^{-1}=i \hbar \nabla_p
\end{equation}


\begin{equation}
    \hat{U} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} \psi(r)=\hat{U} \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} \hat{U}^{-1} \cdot \hat{U} \psi(r)=\frac{p^2}{2m} \psi(p)
\end{equation}

也可以换一种算法一一直接按变换计算来得到,即

\begin{equation}
    \hat{U} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} \psi(r)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{d} r e^{-\frac{i}{\hbar} p \cdot r} \cdot \frac{-\hbar^2}{2m} \Delta \psi(r)
\end{equation}

对右边进行两次分部积分,将作用在$\psi(r)$上的$\Delta=\nabla \cdot \nabla$转移到作用于
$\mathrm{e}^{-\frac{1}{\pi} p r}$上,并根据边条件假设,扔掉分部积分出来的两项,即得

\begin{equation}
    \frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \int \mathrm{d} r \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar} p r} \cdot \frac{-\hbar^2}{2m} \Delta \psi(r)=\frac{p^2}{2m} \psi(p)
\end{equation}


在$\hat{U}$的变换下, Hamilton量$\hat{H}=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m}+V(\boldsymbol{r})$
改变成为$\hat{H}=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V\left(\mathrm{i} \hbar \nabla_{\mathrm{p}}\right)$.
这里利用了无穷远处粒子的密度为零的边条件,确切说,利用了动量算符的Hermite性条件.


\begin{theorem}
    量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容,包括:
    基本对易规则、运动方程、全部力学量测量值、全部概率幅.

    比如,容易检验:在$\hat{U}$变换下,基本对易规则确实保持不变,

    \begin{equation}
        \hat{x} \hat{p}-\hat{p} \hat{x}=\hat{x}^{(U)} \cdot \hat{p}^{(U)}-\hat{p}^{(U)} \cdot \hat{x}^{(U)}=\mathrm{i} \hbar
    \end{equation}
\end{theorem}

关于全部概率幅不变,是说应当有
\begin{equation}
    f_{\varphi \nu}^{(r)}=f_{\varphi v}^{(\rho)}
\end{equation}

这里,当粒子处在$\varphi(r)$态时,找到它处于$\psi(r)$态的概率幅为

\begin{equation}
    f_{\theta \psi}^{(r)}=\int \varphi^*(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \boldsymbol{r}
\end{equation}

$f$上标$(r)$表示它由变换前的坐标波函数算出.体系经受幺正变换$\hat{U}: \varphi(r) \rightarrow \varphi(p)$, $\psi(\boldsymbol{r}) \rightarrow \psi(\boldsymbol{p})$,自变数成为$\boldsymbol{p}$.于是变换后,这个概率幅应当表示为

\begin{equation}
    f_{q \psi}^{(p)}=\int \varphi^*(p) \psi(p) \mathrm{d} p
\end{equation}
\begin{proof}
    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            \int \varphi^*(p) \psi(p) \mathrm{d} p & =\frac{1}{\left[(2\pi h)^{3/2}\right]^2} \int \mathrm{d} p \mathrm{~d} r \mathrm{~d} r^{\prime} \varphi^*\left(r^{\prime}\right) \psi(r) \mathrm{e}^{\frac{1}{n} p r^{\prime}-\frac{1}{n} p r} \\
                                                   & =\int \mathrm{d} r \mathrm{~d} r^{\prime} \varphi^*\left(r^{\prime}\right) \psi(r) \delta\left(r-r^{\prime}\right)                                                                             \\
                                                   & =\int \mathrm{d} \boldsymbol{r} \varphi^*(r) \psi(r)=f_{\varphi \psi}^{(r)}
        \end{aligned}
    \end{equation}
\end{proof}

\begin{note}
    两个量子体系,如能用某个幺正变换联系起来,它们在物理上就是等价的.这里,
    "物理上等价"的含义是从实验观测角度说的:
    如果全部可观测力学量在两个体系中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等,
    从实验观测角度看它们之间无法区别,就说这两个体系在物理上是等价的,可以认为它们在物理上是相同的.
\end{note}

\subsection{反幺正变换}

\begin{definition}[][反线性算法]
    \textbf{inverse linear algorithm}\quad 一个反线性算符$\hat{A}$满足

    \begin{equation}
        \hat{A}(\alpha \varphi+\beta \psi)=\alpha^* \hat{A} \varphi+\beta^* \hat{A} \psi
    \end{equation}

    $\alpha , \beta$为两个任意复常数; $\varphi , \psi$为任意波函数.

    反线性算符$\hat{A}$的Hermite共轴算符$\hat{A}^{+}$的定义是

    \begin{equation}
        (\varphi, \hat{A} \psi)=\left(\hat{A}^{+} \varphi, \psi\right)^*=\left(\psi, \hat{A}^{+} \varphi\right)
    \end{equation}

\end{definition}
\begin{note}
    就是说,如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轴。
    这是与线性算符惟一的然而是极本质的差别.
\end{note}


\begin{definition}[][反幺正算符]
    \textbf{anti-unitary operator}\quad 反幺正算符$\hat{A}$的定义为

    \begin{equation}
        (\varphi, \hat{A} \psi)=\left(\hat{A}^{-1} \varphi, \psi\right)^*=\left(\psi, \hat{A}^{-1} \varphi\right)
    \end{equation}

\end{definition}
\begin{note}
    对反幺正算符也有
    \begin{equation*}
        \hat{A}^{-1}=\hat{A}^{+}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \hat{A}\hat{A}^{+}=\hat{A}^{+}\hat{A}=I
    \end{equation*}
\end{note}

